Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№576 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен \(10\) и разность равна \(3\).
№576 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Последовательность \((b_n)\) — арифметическая прогрессия, первый член которой равен \(b_1\), а разность равна \(d\). Выразите через \(b_1\) и \(d\):
а) \(b_7\);
б) \(b_{26}\);
в) \(b_{231}\);
г) \(b_k\);
д) \(b_{k+5}\);
е) \(b_{2k}\).
№576 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Вспомните:
№576 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Вспомните, арифметическую прогрессию.
№576 учебника 2023-2026 (стр. 165):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 10\), \(d = 3\).
\(a_n=a_1 +d(n-1)\)
\(a_{14}=10+3\cdot(14-1)=\)
\(=10+3\cdot13=\)
\(=10+39=49\).
\(a_{30}=10+3\cdot(30-1)=\)
\(=10+3\cdot29=\)
\(=10+87=97\).
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)
\(S_{14}=\dfrac{(a_1+a_{14})\cdot\cancel{14} ^{\color{blue}{7}} }{\cancel2}=\)
\(=(10+49)\cdot7=59\cdot7 =413 \).
\(S_{30}=\dfrac{(a_1+a_{30})\cdot\cancel{30} ^{\color{blue}{15}} }{\cancel2}=\)
\(=(10+97)\cdot15=107\cdot15 =1605\).
\(S_{15-30} = S_{30} - S_{15} =\)
\(=1605 - 413 = 1192\).
Ответ: \(S_{15-30} = 1192\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия задаётся формулой
\(a_n=a_1+(n-1)d\).
По ней находятся значения нужных членов прогрессии.
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Подставляя значения \(n=14\) и \(n = 30\), получаем суммы \(S_{14}\) и \(S_{30}\). Затем, вычитая из суммы тридцати первых членов \(S_{30}\) сумму четырнадцати первых членов \(S_{14}\), находим сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, то есть
\(S_{15-30} = S_{30} - S_{15}\).
№576 учебника 2014-2022 (стр. 151):
\(b_n=b_1+(n-1)d\)
а) \(b_7=b_1+(7-1)d=\)
\(=b_1+6d\).
б) \(b_{26}=b_1+(26-1)d=\)
\(=b_1+25d\).
в) \(b_{231}=b_1+(231-1)d=\)
\(=b_1+230d\).
г) \(b_k=b_1+(k-1)d\)
д) \(b_{k+5}=b_1+(k+5-1)d=\)
\(=b_1+(k+4)d\).
е) \(b_{2k}=b_1+(2k-1)d\)
Пояснения:
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\).
Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии выражается формулой:
\[b_n=b_1+(n-1)d.\]
Чтобы выразить любой член прогрессии через \(b_1\) и \(d\), достаточно подставить вместо \(n\) нужный номер члена и упростить выражение.
Таким образом, все искомые выражения получаются непосредственной подстановкой номера члена в формулу \(b_n\).
Вернуться к содержанию учебника