Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№564 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?
№564 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Перечислите члены последовательности \((x_n)\), которые расположены между:
а) \(x_{31}\) и \(x_{35}\);
б) \(x_n\) и \(x_{n+6}\);
в) \(x_{n-4}\) и \(x_n\);
г) \(x_{n-2}\) и \(x_{n+2}\).
№564 учебника 2023-2026 (стр. 159):
№564 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Вспомните, что называют последовательностью чисел.
№564 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника:
\(S_n=(n-2)\cdot180^\circ\)
Последовательность сумм для
\(n=3,4,5,\ldots\):
\(S_3=(3-2)\cdot180^\circ=180^\circ\)
\(S_4=(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ\)
\(S_5=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ\)
Разность соседних членов:
\(S_{n+1}-S_n=((n+1)-2)\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\)
\(S_{n+1}-S_n=(n-1)\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\)
\(S_{n+1}-S_n=180^\circ\)
Следовательно, \(S_n\) образует арифметическую прогрессию с разностью \(d=180^\circ\).
Пояснения:
Используем известный факт из геометрии: выпуклый \(n\)-угольник можно разбить диагоналями из одной вершины на \(n-2\) треугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника равна \(180^\circ\).
Поэтому сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника равна сумме углов \(n-2\) треугольников:
\[S_n=(n-2)\cdot180^\circ.\]
Когда число сторон увеличивается на 1 (переходим от \(n\)-угольника к \((n+1)\)-угольнику), число треугольников в разбиении увеличивается на 1, значит сумма внутренних углов увеличивается на \(180^\circ\).
Это означает, что разность между соседними членами последовательности \(S_{n+1}-S_n\) постоянна и равна \(180^\circ\). Следовательно, последовательность сумм внутренних углов является арифметической прогрессией, а её разность равна \(180^\circ\).
№564 учебника 2014-2022 (стр. 146):
а) Между \(x_{31}\) и \(x_{35}\):
\(x_{32},\ x_{33},\ x_{34}\)
б) Между \(x_n\) и \(x_{n+6}\):
\(x_{n+1},\ x_{n+2},\ x_{n+3},\ x_{n+4},\ x_{n+5}\)
в) Между \(x_{n-4}\) и \(x_n\):
\(x_{n-3},\ x_{n-2},\ x_{n-1}\)
г) Между \(x_{n-2}\) и \(x_{n+2}\):
\(x_{n-1},\ x_{n},\ x_{n+1}\)
Пояснения:
Последовательность \((x_n)\) упорядочена по возрастанию индексов: после члена с номером \(k\) идёт член с номером \(k+1\).
Чтобы перечислить члены, расположенные между двумя заданными, нужно взять все члены, индексы которых строго больше меньшего индекса и строго меньше большего индекса.
а) Между номерами \(31\) и \(35\) находятся номера \(32, 33, 34\).
б) Между номерами \(n\) и \(n+6\) находятся номера от \(n+1\) до \(n+5\).
в) Между номерами \(n-4\) и \(n\) находятся номера \(n-3, n-2, n-1\).
г) Между номерами \(n-2\) и \(n+2\) находятся номера \(n-1, n, n+1\).
Вернуться к содержанию учебника