Деление натуральных чисел

Вы уже знакомы с общими понятиями о делении и о том как делить в столбик, рассмотрим более подробно деление натуральных чисел и его свойства.

Рассмотрим задачу:

У Вани 7 кроликов, он собрал для них 28 яблок. Сколько яблок досталось каждому кролику?

Пусть $x$ яблок досталось каждому кролику, тогда мы можем сказать, что общее количество яблок равно: . Чтобы решить данное уравнение, мы должны найти число, которое при умножении на 7 даст результат 28, мы знаем, что такое число только одно - это 4: $\mathrm{}$ - верно. Следовательно, если известно произведение и один из множителей, можно найти второй множитель.

Данное действие записывают так: , или , где:

Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя, то есть в нашем примере: 28 больше 7 в 4 раза. Поэтому, если в задаче звучит вопрос "во сколько?", для  её решения мы используем деление. При этом не всегда возможно одно число поделить на другое, тогда возникает необходимость деления с остатком.

Из вышесказанного мы можем сделать вывод:

1. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Пример: , следовательно, , то есть .

2. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Пример: , по смыслу деления  - это произведение 4 и 9, следовательно, , то есть .

3. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Пример: , по смыслу деления число 28 - это произведение множителей  и 7, то есть мы можем записать: , теперь, применяя пункт 1, получаем: , то есть .

Свойства деления

Распределительные свойства:

1. Деление суммы на число:

У Вани и Маши 3 кролика. Маша нашла 9 яблок, а Ваня - 15. Сколько яблок досталось каждому кролику?

Решение:

а) Мы можем сложить яблоки, которые нашли Маша и Ваня, а потом разделить полученное число на количество кроликов, то есть:

1) 9 + 15 = 24 (я) - собрали Маша и Ваня вместе.

2) 24 : 3 = 8 (я) - досталось каждому кролику.

б) Мы можем разделить яблоки, которые собрала Маша, затем разделить яблоки, которые собрал Ваня, а результат сложить:

1) 9 : 3 = 3 (я) - принесла Маша каждому кролику.

2) 15 : 3 = 5 (я) - принес Ваня каждому кролику.

3) 3 + 5 = 8 (я) - досталось каждому кролику.

Мы видим, что в обоих случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (9+15):3=9:3+15:3.

Вывод: Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.

2. Деление разности на число:

Всего трем братьям папа дал 150 рублей. На 72 рубля они купили сестре цветы на день рождения. Сколько рублей осталось у каждого брата?

а) Мы можем из общей суммы вычесть то, что братья потратили, а затем поделить сдачу:

1) 150 - 72 = 78 (руб.) - осталось после покупки цветов.

2) 78 : 3 = 26 (руб.) - осталось у каждого брата.

б) Мы можем найти, сколько получил каждый брат, затем посчитать, сколько потрачено каждым из них, а затем вычесть из полученной суммы денег потраченную:

1) 150 : 3 = 50 (руб.) - получил каждый брат.

2) 72 : 3 = 24 (руб.) - потратил каждый брат.

3) 50 - 24 = 26 (руб.) - осталось у каждого брата.

Мы видим, что в обоих случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (150 - 72) : 3 = 150 : 3 - 72 : 3.

Вывод: Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.

3. Деление произведения на число:

В зооуголке в саду 3 кролика. 12 детей принесли по 6 яблок для кормления питомцев. Сколько яблок досталось каждому кролику?

а) Сначала можем найти общее количество яблок, которые принесли дети, а затем поделить на число кроликов:

1) 12 · 6 = 72 (я) - принесли всего дети.

2) 72 : 3 = 24 (я) - досталось каждому кролику.

б) Мы можем найти сколько детей принесли яблоки одному кролику, а затем умножить на количество принесенных яблок:

1) 12 : 3 = 4 (чел.) - принесли яблоки 1 кролику.

2) 4 · 6 =24 (я) - досталось каждому кролику.

б) Мы можем найти по сколько яблок принес 1 ребенок для 1 кролика, а затем умножить на количество детей:

1) 6 : 3 = 2 (я) - принес каждый ребенок для одного кролика.

2) 2 · 12 = 24 (я) - досталось каждому кролику.

Мы видим, что в всех случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (12 · 6) : 3 = (12 : 3) · 6 = (6 : 3) ·12.

Вывод: Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.

4. Деление числа на произведение:

В 4 клетках сидят по 3 кролика. Ваня принес 48 яблок. Сколько яблок досталось каждому кролику?

а) Мы можем найти сколько кроликов всего, а потом поделить яблоки на полученное число:

1) 4 · 3 = 12 (к) - всего в клетках.

2) 48 : 12 = 4 (я) - досталось каждому кролику.

б) Мы можем найти сколько яблок положат в каждую клетку, а затем, сколько получит яблок каждый кролик:

1) 48 : 4 = 12 (я) - положат в каждую клетку.

2) 12 : 3 = 4 (я) - досталось каждому кролику.

Если мы рассадим наших кроликов по 4 в три клетки, решая задачу аналогично получим:

а) 1) 4 · 3 = 12 (к) - всего в клетках.

2) 48 : 12 = 4 (я) - досталось каждому кролику.

б) 1) 48 : 3 = 16 (я) - положат в каждую клетку.

2) 16 : 4 = 4 (я) - досталось каждому кролику.

Мы видим, что в всех случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: 48 : (4 · 3) = (48 : 4) : 3 = (48 : 3) : 4

Вывод: Чтобы разделить число на произведение двух множителей, можно разделить это число сначала на один из множителей,  а затем на второй.

Действия с единицей и нулем

1. Деление числа на единицу:

У Вани один кролик. Он принёс 3 яблока. Сколько яблок достанется кролику?

Будем рассуждать, у Вани всего один кролик, значит все яблоки достанутся ему:

3 : 1 = 3 (я) - достанется кролику, следовательно, мы можем сделать вывод: При делении числа на единицу получается само число:

2. Деление числа на себя:

Из свойств умножения мы знаем, что: , а мы знаем, что по смыслу деления можно записать, что: , то есть при делении числа, не равного нулю, на само себя получается единица.

3. Деление нуля на число:

Рассуждая аналогично пункту 2 получаем: , то есть при делении ноля на любое число, не равное нулю, получаем ноль.

Обратите внимание, что НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

Это легко объяснить следующими рассуждениями: пусть мы взяли  карандашей, попробуем разложить их в 0 коробок, и предположим, что получилось по   карандашей в каждой коробке: , из смысла деления , в то же время мы знаем из свойств умножения, что: , то есть получаем, что , а это противоречит условию задачи, следовательно делаем вывод, что на ноль делить нельзя.