Произведение вектора на число / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

Определение

Произведением ненулевого вектора

на число

называется такой вектор

, длина которого равна

, причём векторы

сонаправлены при

0 и противоположно направлены при

0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число обозначается так:

Из определения следует, что:

произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны.

Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел , и любых векторов , справедливы равенства:

1⁰. () = () (сочетательный закон).

2⁰. ( + ) = + (первый распределительный закон).

3⁰. ( + ) = + (второй распределительный закон).

Замечание

Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение = 2( - ) + ( + ) - 3( - + ) можно преобразовать так: