Теорема о вписанном угле / Окружность / Справочник по геометрии 7-9 класс

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

На рисунке 1 угол ВАС вписанный, дуга ВLС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Дано: окружность (О), АВС - вписанный, АС - внутри АВС.

Доказать: АВС = АС.

Доказательство:

1 случай

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Пусть ВО совпадает с ВС (Рис. 2).

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, следовательно, АОС =АС (т.к. АОС - центральный угол, причем он меньше полуокружности, поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

АВО - равнобедренный с основанием АВ (т.к. ОА = ОВ - радиусы), 1 = 2 (углы при основании). АОС - внешний угол АВО, АОС = 1 + 2 = 21. Следовательно, учитывая то, что АОС =АС, получим: АС = 2 1, откуда 1 = АС, т.е. АВС = АС.

2 случай

Луч ВО делит угол АВС на два угла.

В данном случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (Рис. 3).

Точка D разделят дугу АС на две дуги: АD и DС, поэтому АС = АD + DС.

Луч ВD разделяет угол АВС на два угла, поэтому АВС = АВD + DВС.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и DВС = DС. Складывая эти равенства, получаем: АВD + DВС = АD + DС или АВD + DВС = (АD + DС). Следовательно, АВС = АС.

3 случай

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С (Рис. 4).

Точка С разделят дугу АD на две дуги: АC и CD, поэтому АD = АC + CD, откуда АC = АD - CD.

Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому АВD = АВC + CВD, откуда АВC = АВD - CВD.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и СВD = СD. Вычитая из первого равенства второе, получаем: АВD - СВD = АD - CD или АВD - СВD = (АD - CD). Следовательно, АВС = АС.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о вписанном угле

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис. 5).

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой (рис. 6).

Теорема

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Дано: окружность, АВ и СD - хорды, АВСD = Е (Рис. 7).

Доказать: АЕВЕ = СЕDЕ.

Доказательство:

В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕDЕ. Теорема доказана.

Теорема

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Доказательство

Дано: окр.(О, ), АВ - хорда, АС - касательная, А - точка касания.

Доказать: ВАС = АВ.

Доказательство:

АОВ - равнобедренный с основанием АВ, т.к. ОА = ОВ = , значит, ОАВ = ОВА (как углы при основании), при этом ОААС (свойство касательной), поэтому ОАВ = ОВА = 90⁰ - ВАС. Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника: АОВ = 180⁰ - 2 $\cdot$ (90⁰ - ВАС) = 180⁰ - 180⁰ + 2ВАС = 2ВАС, откуда ВАС = АОВ. АОВ - центральный, поэтому ВАС = АВ. Теорема доказана.