Задачи на построение

При решении многих задач на построение треугольников применяют метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник.

Задача

Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Дано: 1, 2, отрезок ЕK.

Построить: АВС такой, что А =1, В =2, СD - биссектриса, СD = ЕК.

Решение:

Имеем два угла и отрезок, строим их.

Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок А₁В₁ и построим треугольник А₁В₁С, у которого А₁ =1, В₁ =2.

Чтобы построить углы, равные данным, т.е. А₁ =1 и В₁ =2, сначала строим с помощью циркуля окружности произвольного радиуса с центрами в вершинах углов 1 и 2  (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), точки пересечения данных окружностей со сторонами угла 1 обозначаем буквами М и N, со сторонами угла 2 - Р и Н.

Теперь строим окружности с центрами в точках А₁ и В₁ таких же радиусов как и окружности с центрами в вершинах углов 1 и 2 (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Точки пересечения данных окружностей с отрезком А₁В₁ обозначаем А₂ и В₂ соответственно.

Затем с помощью циркуля измеряем расстояние между точками М и N, и строи окружность радиуса МN c центром в точке А₂ (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке А₁ обозначаем буквой А₃. Аналогично измеряем расстояние между точками Р и Н, и строи окружность радиуса РН c центром в точке В₂ (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке В₁ обозначаем буквой В₃.

Проводим прямые через точки А₁ и А₃, В₁ и В₃. Точку пересечения прямых А₁А₃ и В₁В₃ обозначаем буквой С.

Теперь строим биссектрису угла С. С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине С (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла С обозначаем буквами F и S. Затем строим две окружности одинакового радиуса FS с центрами в точках F и S (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и зеленым цветом). Точку пересечения данных окружностей внутри угла С обозначаем буквой R, проводим прямую СR, которая и является биссектрисой угла С.

Далее на луче СR откладываем отрезок, равный данному отрезку ЕК. Для этого с помощью циркуля измеряем отрезок ЕК и строим окружность с центом в точке С радиуса ЕК (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное желтым цветом). Точку пересечения данной окружности с лучом СR обозначаем буквой D. Теперь через точку D нужно провести прямую АВ, параллельную прямой А₁В₁. Для этого строим окружность произвольного радиуса (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное зеленым цветом) с центром в точке пересечения прямой А₁В₁ и биссектрисы СR (в данном случае эта точка совпала с точкой А₂), точки пересечения данной окружности с прямой А₁В₁ и биссектрисы СR обозначаем Y и X соответственно. Теперь строим окружность с центром в точке D такого же радиуса, как и радиус окружности с центром в точке А₂  (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Точку пересечения данной окружности с биссектрисой СR обозначаем буквой G. Затем с помощью циркуля измеряем расстояние между точками Y и X и чертим окружность с центром в точке G радиуса ХY (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом). Точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке D обозначаем буквой L. Далее проводим прямую через точки D и L, точки пересечения данной прямой с лучами СА₁ и СВ₁ обозначаем буквами А и В соответственно. Итак, мы построили  СDВ =СА₂В₁, причем эти углы соответственные при пересечении прямых А₁В₁ и АВ секущей СR, следовательно, А₁В₁АВ (по признаку параллельности двух прямых). АВСА₁В₁С (по двум углам).

Докажем, что АВС - искомый.

По построению АВА₁В₁, СА и СВ - секущие, углы А и А₁, В и В₁ - соответственные, значит, А =А₁ и В =В₁ (по теореме о соответственных углах), при этом по построению А₁ =1 и В₁ =2, поэтому А =1 и В =2 и также по построению биссектриса СD треугольника АВС равна данному отрезку ЕК. Следовательно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Что и требовалось доказать.

Данная задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 180⁰, т.к. сумма углов треугольника равна 180⁰. Отрезок А₁В₁ можно выбрать произвольно, поэтому существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по 2 признаку равенства треугольников), следовательно, задача имеет единственное решение.